Парадокс двух конвертов

Недавно была новость про парадокс Монти Холла (nnm.ru/blogs/patrolman/para...) и в обсуждении новости кто-то предложил обсудить еще и парадокс двух конвертов. Спрашивали — получите.

Парадокс двух конвертов

В оригинальной постановке задача звучит примерно так:

Дано
В два запечатанных конверта ведущим вкладываются некоторые суммы денег и игроку известно, что суммы денег в двух конвертах различаются в два раза. Игрок может выбрать любой конверт наугад, вскрыть его и пересчитать сумму в конверте. После этого он может либо забрать эту себе, либо взять себе сумму из второго конверта, заранее не зная ее. Какова наилучшая стратегия для игрока?

Ответ
Игроку надо всегда брать второй конверт.

Доказательство
Допустим, в первом конверте игрок обнаруживает сумму 100р. Тогда, матожидание суммы во втором конверте (средняя сумма при выборе второго конверта) будет 100р/2*50%+100р*2*50%=(50р+200р)/2=125р. Надо всегда брать второй конверт, поскольку такая тактика в среднем (но не в каждом конкретном случае) дает больший выигрыш. Но это решение противоречит интуиции, так как кажется очевидным, что все равно какой конверт брать.

Я предлагаю попытаться самостоятельно разобраться в парадоксе, а если вы решение не нашли или нашли и хотите его проверить, то прошу под кат.

----------------------<cut>----------------------

Может показаться, что парадокс Монти Холла и парадокс двух конвертов похожи: и там, и там доказанным решением будет "всегда менять первоначальный выбор". На самом деле это два противоположных парадокса. В парадоксе Монти Холла совершенно элементарная задача запутана так, чтобы правильное решение казалось абсурдным. В парадоксе двух конвертов ложное решение всегда будет казаться абсурдным, а задача запутана так, чтобы было трудно найти ошибку в "доказательстве".

В приведенной формулировке можно заметить некоторую туманность высказываний о максимально возможной сумме в конверте: "некоторая сумма", "100р". При этом предполагается, что суммы в конвертах не ограничены, но выбранные формулировки заставляют об не задумываться.

ПЕРЕФОРМУЛИРУЕМ ЗАДАЧУ БОЛЕЕ СТРОГИМ ОБРАЗОМ:

Дано
В два запечатанных конверта ведущим вкладываются любые и ничем не ограниченные суммы денег и игроку известно, что суммы денег в двух конвертах различаются в два раза. Игрок может выбрать любой конверт наугад, вскрыть его и пересчитать сумму в конверте. После этого он может либо забрать эту себе, либо взять себе сумму из второго конверта, заранее не зная ее. Какова наилучшая стратегия для игрока?

Ответ
Игроку надо всегда брать второй конверт.

Доказательство
Допустим, в первом конверте игрок обнаруживает сумму Х. Тогда, матожидание суммы во втором конверте будет Х/2*50%+Х*2*50%=1,25*Х. Надо всегда брать второй конверт, поскольку такая тактика в среднем дает больший выигрыш.

Вот сейчас абсурдность решения стала еще более очевидна: поскольку нам не важно значение Х, то мы можем и не вскрывать конверт, а просто сразу выбрать второй в котором в среднем лежит 1,25*Х. Обозначим 1,25*Х за Y и по аналогии находим, что в первом конверте лежит сумма 1,25*Y. Надо брать первый конверт. Так просто тыкая пальцем в конверты по очереди мы все время увеличиваем наш капитал, пока нам это не надоест!

В чем подвох? В том, что задача сформулирована не полно, она просто не имеет решения в такой формулировке, как не имеет решения система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Для полноты надо в условия задачи еще добавить функцию распределения вероятностей по возможным суммам в рублях. Теперь смотрим на "доказательство": для сумм Х/2 и Х*2 (где Х — любое положительное число) используется вероятность 50%. Так вот она функция распределения — равновероятна, константа! Но почему ее неявно запихнули в доказательство, а не указали в явном виде в условиях задачи? А чтобы мы об этой функции не задумывались.

Дело в том, что равновероятная функция распределения на бесконечном интервале математически невозможна. На функцию распределения всегда накладывается условие нормировки: интеграл от функции распределения на всей области определения функции в континуальном случае либо сумма всех значений функции в дискретном случае должны быть равны 1. Но интеграл от ненулевой константы по бесконечному интервалу или бесконечная сумма ненулевых констант всегда бесконечны, а если константа равна 0, то интеграл или сумма будет равна 0, но никак не 1!

Если же ввести, например, отграничение на максимально возможную сумму (известную игроку) в конверте, то, во-первых, игроку есть смысл вскрывать первый конверт и пересчитывать сумму в нем (так как теперь ему есть с чем э
ту сумму сравнивать), а, во-вторых, решение задачи будет другим. Вовсе не "всегда брать второй конверт".

Все это более подробно и очень хорошо описано в источнике (на википедии ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_двух_конвертов), так же там рассмотрены возможные корректные формулировки этой задачи.

Тэги: Парадокс двух конвертов
−25+
341
boroda74 / Док удален / Разное / на индексе / 1 сентября 2010, 14:23 / источник Печать 

Комментарии

  1. Рейтинг: ↓0+
    _pioner_ 2 сентября 2010, 02:24 #

    Короче хитрозакрученая хрень ...

  2. Рейтинг: ↓0+
    Ryoko 2 сентября 2010, 02:20 #

    Ну как по мне так все просто — взять или не взять второй конверт это как еще одна игра. И ставка в этой игре или потерять половину суммы или взять еще столько-же. Естественно каждый вариант равновероятен, но теряешь в случае проигрыша в два раза меньше денег, чем получаешь в случае выигрыша.

    • Рейтинг: ↓0+
      boroda74 2 сентября 2010, 02:57 #

      Вот в этом то и "парадокс". Дело в том, что большая и меньшая суммы не равновероятны. Поэтому логика "но теряешь в случае проигрыша в два раза меньше денег, чем получаешь в случае выигрыша и надо менять" не верна.

      • Рейтинг: ↓0+
        friendfire 2 сентября 2010, 04:04 #

        Они равновероятны — 50 на 50.

        • Рейтинг: ↓0+
          boroda74 2 сентября 2010, 04:29 #

          Нет. Один пример, который опровергает вашу логику (доказательство от противного): ведущий кладет в конверты 10р и 20р случайным образом. В первом конверте нашли 20р. Какова вероятность выиграть при смене конверта? 0%.

          • Рейтинг: ↓0+
            friendfire 2 сентября 2010, 05:17 #

            100% (выигрыш = 10 рублей)

            • Рейтинг: ↓0+
              boroda74 2 сентября 2010, 05:21 #

              Я, конечно, имел ввиду "дополнительный выигрыш", "преимущество" :)

              • Рейтинг: ↓0+
                friendfire 2 сентября 2010, 05:30 #

                Если заранее известно, что во втором конверте 10р, то 0%, а если неизвестно, то 50%, т.к. сумма во втором конверте может быть как больше, так и меньше, 50 на 50.

                • Рейтинг: ↓0+
                  boroda74 2 сентября 2010, 05:39 #

                  Тут есть два момента: вероятность выиграть или проиграть при определенной тактике не зависит от ваших знаний, 2-й момент — какова наилучшая тактика при тех знаниях, которые есть. Это не одно и то же.

                  "50%, т.к. сумма во втором конверте может быть как больше, так и меньше, 50 на 50" — нет. Об этом и статья. Вы способны загадать случайное целое число от 1 до бесконечности равновероятным способом? Загадайте, я легко покажу вам, что способ не равновероятный.

  3. Рейтинг: ↓0+
    friendfire 2 сентября 2010, 02:18 #

    Предположим, программа генерирует число 1 или 2 с вероятностью 50%. Вариант 1: берётся конверт с номером, не совпадающим с номером сгенерированного числа (вероятность 100%-50%=50%). Вариант 2: берётся конверт с номером, совпадающим с номером сгенерированного числа (вероятность 50%). Как видно, вероятности одинаковые, следовательно итоговые суммы, изъятые из всех выбранных конвертов, при очень большом количестве испытаний, в данных двух вариантах, будут почти равны.

  4. Рейтинг: ↓0+
    _pioner_ 2 сентября 2010, 02:11 #

    Без бутылки не разобраццо

  5. Рейтинг: ↓0+
    friendfire 2 сентября 2010, 02:11 #

    Чушь собачья! Какой смысл вскрывать конверт и пересчитывать деньги, если всегда будешь брать второй? А если не вскрывать, а просто тыкать пальцем, и брать другой, то это равносильно простому тыку пальцем и взятию данного конверта. Похоже, у математиков проблемы с логикой...

    • Рейтинг: ↓0+
      protonski 2 сентября 2010, 02:14 #

      По источнику сказано, что после инспекции конверта нарушается симметрия. Но игроку то ведь от этой информации ничего не выигравает...

      • Рейтинг: ↓0+
        friendfire 2 сентября 2010, 02:55 #

        Всё. Я понял в чём подлянка: второй конверт, это не просто конверт номер 2, а всегда неизвестный конверт, а первый — всегда известный. Т.е. изначально имеется не два неизвестных (из которых всё равно, какое выбрать), а одно известное и одно неизвестное, и это неизвестное всегда выгодно, т.к. не может быть равно 0. Если бы неизвестное было: или удвоение, или ничего, то другое дело!

        • Рейтинг: ↓0+
          boroda74 2 сентября 2010, 03:01 #

          То есть вы сторонник тактики "всегда менять"?

          • Рейтинг: ↓0+
            friendfire 2 сентября 2010, 04:00 #

            Конечно менять, т.к. выигрыш всегда будет положительным — либо намного больше (на 2 половины), либо на немного меньше (на 1 половину). Он не может быть равен нулю. Выигрыш определяется известным числом, это не просто любое случайное число.

            • Рейтинг: ↓0+
              boroda74 2 сентября 2010, 04:26 #

              Да. Но вероятности выигрыша и проигрыша не могут быть всегда равны для любых сумм в первом конверте. Почему? Надо читать всю статью и разбираться в высшей математике. На пальцах это не объяснишь.

              В том, что вероятности выигрыша и проигрыша не равны и состоит подвох.

    • Рейтинг: ↓0+
      boroda74 2 сентября 2010, 03:00 #

      "Чушь собачья!" — Вы абсолютно правы. Беда в том, что понять, где именно ошибка в "доказательстве" трудно.

    • Рейтинг: ↓0+
      byc 2 сентября 2010, 03:09 #

      Согласен, всё это изменение вероятности при пересчитывании лишь виртуальная выдумка.

  6. Рейтинг: ↓0+
    protonski 2 сентября 2010, 02:09 #

    Мда, такой эксперимент даже компьютером не смоделируешь. Если отбросить зачем-то тут пришитую субъективность игрока, которому от того что он знает какая сумма в одном конверте ни холодно ни жарко, то там ПРАКТИЧЕСКИ всё равно что делать.

    • Рейтинг: ↓0+
      boroda74 2 сентября 2010, 02:32 #

      Тут суть в другом. Многие даже с высшим образованием не могут сразу объяснить где ошибка в исходном доказательстве. Вроде, все правильно, а результат — бред.

      • Рейтинг: ↓0+
        protonski 2 сентября 2010, 02:44 #

        ах вот оно что, а я даже доказательство толком читать не стал, само "решение" оказывается и есть задача

    • Рейтинг: ↓0+
      spellka 2 сентября 2010, 02:46 #

      Вы видите 10000. В другом конверте либо 5000, либо 20000. 10000-5000=5000<20000-10000=10000. Т.е. выиграем мы больше, чем потеряем, как бы глупо это не звучало.

      • Рейтинг: ↓0+
        boroda74 2 сентября 2010, 03:05 #

        Не выиграем. Вероятности нахождения во втором конверте большей и меньшей суммы не равны.

  7. Рейтинг: ↓0+
    14_words 2 сентября 2010, 01:57 #

    а можно пощупать конверты и взять тот, что потолще? )

    • Рейтинг: ↓0+
      protonski 2 сентября 2010, 02:15 #

      я бы просто оба конверта отобрал :))

    • Рейтинг: ↓0+
      spellka 2 сентября 2010, 02:42 #

      В одном тыща бумажкой, в другом 500р по 10 рублей))

  8. Рейтинг: ↓0+
    fanra 2 сентября 2010, 01:40 #

    покерный и

    • Рейтинг: ↓0+
      fanra 2 сентября 2010, 01:40 #

      покерный игрок к примеру постоянно будет тащить второй конверт, это как пить дать...

      • Рейтинг: ↓0+
        spellka 2 сентября 2010, 01:54 #

        Меняю оба конверта и уравниваю :)

  9. Рейтинг: ↓0+
    evgenn1 2 сентября 2010, 01:34 #

    если стал участником игры, передачи и т.п.- то надо рисковать, а думать надо до начала иры !

  10. Рейтинг: ↓0+
    m_a_e 2 сентября 2010, 01:32 #

    Задача интересная, но решение написано настолько "коряво" и, даже, скажу больше — безграмотно. Перечитал не менее трех раз прежде чем начал понимать суть, при этом я знаю теорию вероятностей. Что говорить о людях, которые с терминами ( математическое ожидание, функция распределения и т.п.) сталкиваются впервые.

    • Рейтинг: ↓0+
      spellka 2 сентября 2010, 01:56 #

      Ты, пожалуй, прав. Нам эту задачу гораздо чётче объясняли.

  11. Рейтинг: ↓0+
    tokra (Tokra) 2 сентября 2010, 01:18 #

    Математика тут не при чем. Правильным решением, мне кажется, будет открыть первый конверт и если сумма устраивает, то взять ее и про второй и не думать.
    Если в открытом конверте 10 рублей, то дорожить такой суммой не стоит, и тем более боятся, что в другом будт 5 рублей смешно. Если же в конверте тысяч 5 долларов, то будет более обидно РЕАЛЬНО потерять 2.5 штуки, чем ВОЗМОЖНО выиграть еще 5 тысяч.

    • Рейтинг: ↓0+
      tokra (Tokra) 2 сентября 2010, 01:19 #

      *бояться

    • Рейтинг: ↓0+
      spellka 2 сентября 2010, 01:29 #

      Если ты пенсионер, то тебе и 1000руб жалко. Если ты олигарх — то тебе и на 5000баков пох.

      • Рейтинг: ↓0+
        kipish5 2 сентября 2010, 01:35 #

        Квантовая механика — результат эксперимента зависит от наблюдателя :)

      • Рейтинг: ↓0+
        fanra 2 сентября 2010, 01:36 #

        о том собственно и разговор ... лучше синица в руках, нежели журавль в небе, если синица тебя устраивает.

    • Рейтинг: ↓0+
      boroda74 2 сентября 2010, 02:27 #

      Это немного другая задача — в вашей задаче цель (не тактика) игрока заработать ПРИЕМЛЕМУЮ сумму, в исходной задаче — заработать МАКСИМАЛЬНУЮ сумму.

  12. Рейтинг: ↓0+
    spellka 2 сентября 2010, 01:17 #

    Сейчас снова налетят долбоёбы и будут минусовать с воплями "я выиграю больше, а вы лохи позорные".
    Как и в прошлой задаче разницы что брать особой нет. Твой шанс 50% (ой, только не надо строить из себя дураков и корчить магов и математиков в 10м поколении, говоря что ваш шанс несомненно выше, чем у "нормальных" людей, это глупо выглядит). Сию задачку тоже решали, и да, в среднем выигрыш будет больше, т.к. от 10000 наименьшая сумма выходит 5000, а наибольшая 20000. Разница очевидна.
    Но тут уже психологический (или называйте как хотите) фактор. Кто вам сказал, что именно вам должно повести и вы войдёте в число счастливчиков? Если считаете, что у вас хорошая интуиция и в большинесте случаев она вас не подводит, то лучше довериться ей и оставить в лохах самих лохотронщиков.
    Как и в прошлой задаче тут нет никаких парадоксов. С математической точки зрения алгоритм верен. Но конкретно каждому человеку это ничего не даёт. Нет у человека установки действовать определённым указаниям. Из 10 человек все 10 имеют возможность сразу выбрать автомобиль или большую сумму. В задачах не парадокс, а не полные условия. Среднее берётся при условии что участники выбирают разные решения.

    • Рейтинг: ↓0+
      boroda74 2 сентября 2010, 02:24 #

      "Как и в прошлой задаче разницы что брать особой нет" — в прошлой задаче разница была.

      "и да, в среднем выигрыш будет больше, т.к. от 10000 наименьшая сумма выходит 5000, а наибольшая 20000. Разница очевидна." — не будет, ОРГАНИЗАТОРЫ НЕ СМОГУТ обеспечить такие условия игры и не из-за того, что бесконечно много денег не бывает (это все ж модельная задача, а не физическая), а из-за того, что не смогут вкладывать РАВНОВЕРОЯТНЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ суммы в конверты. А если суммы либо не равновероятны, либо ограничены, то это уже другая задача. Кстати вот задача: суммы только целые от 10р до 200р. Какова наиболее выигрышная тактика? Все равно менять конверты или нет?

      • Рейтинг: ↓0+
        spellka 2 сентября 2010, 02:41 #

        И в той и в этой задаче средняя вероятность выбрать верный вариант при прочих равных будет выше при смене решения.
        Но для вас лично в любом случае разницы не будет — либо большая, либо меньшая сумма (либо машина, либо коза) и третьего тут не дано.
        Это как в рекламе: по статистике у нас каждый третий выигрывает. Но кто вам сказал что вы будете этим третим?
        В задаче смешаны 2 типа — математический алгоритм и задача с неполными даннами (психологическая задача). Отсюда и высосали парадокс.

        • Рейтинг: ↓0+
          boroda74 2 сентября 2010, 02:54 #

          "но для вас лично в любом случае разницы не будет" — если есть хоть какой-то шанс проиграть, то кто-нибудь когда-нибудь проиграет, но речь не об этом. Как увеличить свой шанс (не реальный выигрыш, а шанс)?

          "И в той и в этой задаче средняя вероятность выбрать верный вариант при прочих равных будет выше при смене решения" — в "той", если очень грубо — без разницы. В "этой": при суммах от от 10 до 19 надо менять, от 20 до 100 лучше менять, от 101 до 200 надо оставлять, при нечетной сумме — всегда менять. Я думаю все, кроме "от 20 до 100 лучше менять" попросту очевидно.

      • Рейтинг: ↓0+
        osetin 2 сентября 2010, 13:18 #

        ну так, касаемо сумм, можно представить на месте денег — чек с написанной на нем цифрой.
        тогда денег можно вкладывать сколько угодно.

  13. Рейтинг: ↓0+
    crazymax21 (Crazy_max) 2 сентября 2010, 01:08 #

    Мдяя... почитав статью и коменты... поражают коменты... неужели у нас столько не образованных людей?

  14. Рейтинг: ↓0+
    damarus 2 сентября 2010, 00:54 #

    эти все вероятности... не верю =)
    проще научиться "чувствовать" нужный конверт ) играл тут недавно в онлайн казино в "три туза" (перевёрнуты 3 карты, 2 из них черные тузы, нужно открыть красный), с минимальной ставкой по 15 копеек, я поднял выигрыш до рубля ) был такой момент, когда я много раз подряд открывал нужную карту.
    p.s. честность казино не считается :)

    • Рейтинг: ↓0+
      fanra 2 сентября 2010, 01:38 #

      ))) это они тебя заманивали 100р поставить

  15. Рейтинг: ↓0+
    bratsk_vi 2 сентября 2010, 00:43 #

    Был парадокс ТРЕХ дверез, затем ДВУХ конвертов. Что дальше?

    • Рейтинг: ↓0+
      ecdr (Corvin) 2 сентября 2010, 00:56 #

      парадокс одного мешочка и доказательство ого, что шанс выиграть дольше 100%

    • Рейтинг: ↓0+
      4113 2 сентября 2010, 00:59 #

      парадокс одного пистолета у виска

  16. Рейтинг: ↓1+
    martinello 2 сентября 2010, 00:31 #

    Бредятина. Это какой то прикол смешной? можно так же рассуждать: возрастут ли у человека шансы вдвое снять кого то на диско, если он станет Бисексуалом? )))))))

    • Рейтинг: ↓0+
      fanra 2 сентября 2010, 00:35 #

      пле ... в наше время я думаю да

      • Рейтинг: ↓0+
        martinello 2 сентября 2010, 01:06 #

        А если диско для гомосеков? )))))) что с шансами?

        • Рейтинг: ↓0+
          fanra 2 сентября 2010, 01:32 #

          вот ты спросил ))) это скорее к бывалым )))

  17. Рейтинг: ↓0+
    gva230 2 сентября 2010, 00:26 #

    Да не, парадокс не в приведённых "доказательствах". А в том, что какую бы стратегию игрок не высосал из пальца, всё равно он никак не сможет определить какой-же из конвертов ПЕРВЫЙ, а какой ВТОРОЙ!!! :)

    • Рейтинг: ↓0+
      boroda74 2 сентября 2010, 01:02 #

      Первый — тот который открыл и увидел сумму :) Но это, конечно, только при модифицированной и корректной постановке задачи. А в исходной постановке бред — поскольку конверт можно и не открывать. Об этом и сказано в новости.

      • Рейтинг: ↓0+
        hexxxxx 2 сентября 2010, 01:17 #

        А задачи на олимпиадах именно такие и делают...

        • Рейтинг: ↓0+
          boroda74 2 сентября 2010, 02:16 #

          "такие" — в смысле бред?

  18. Рейтинг: ↓0+
    neommx 2 сентября 2010, 00:09 #

    По моему это бред.
    Просто случайное событие, в 50% случаев ты получишь большую сумму в случае если ВСЕГДА выбирать второй конверт равно как и в случае если ВСЕГДА не выбирать второй а оставлять первый. Тут не чего доказывать, сама приведённая формула по моему не отражает ситуации.

    • Рейтинг: ↓1+
      nikoderiko 2 сентября 2010, 00:48 #

      Суть в том, что беря второй конверт, он выиграет больше денег, чем проиграет.

      Допустим, в первом конверте 100 рублей.
      Взяв второй, Игрок может выиграть ещё 100, или проиграть 50.

      Впрочем, это достаточно очевидно.

  19. Рейтинг: ↓0+
    JIexeu-Net 2 сентября 2010, 00:07 #

    Чем то напоминает: Топ-10 недели

  20. Рейтинг: ↓0+
    boroda74 1 сентября 2010, 15:46 #

    Позволю себе прокомментировать слова patrolman. В первоначальной и разъясненной постановке задача двух конвертов не имеет смысла не потому, что игрок не может выработать какую-то осмысленную стратегию, а потому, что ОРГАНИЗАТОРЫ НЕ СМОГУТ вкладывать равновероятные и неограниченные суммы в конверты. Если есть ограничение на максимальную сумму и она известна игроку, то задача решается довольно легко. А вот если ограничение на максимальную сумму есть, но оно игроку не известно, то тут возможны довольно парадоксальные варианты стратегий.

    • Рейтинг: ↓0+
      patrolman 1 сентября 2010, 16:06 #

      Это твой праздник, я решил убрать свой коментарий.

      • Рейтинг: ↓0+
        boroda74 1 сентября 2010, 16:38 #

        :)

      • Рейтинг: ↓0+
        boroda74 1 сентября 2010, 16:39 #

        А попытка заслать на индекс будет?

        • Рейтинг: ↓0+
          patrolman 1 сентября 2010, 17:34 #

          Заслано в "Разное", о чем должна быть надпись внизу новости. Вобще такие вопросы можно порешать в личных сообщениях.

комментарии
^ Наверх