Парадокс двух конвертов

Недавно была новость про парадокс Монти Холла (nnm.ru/blogs/patrolman/para...) и в обсуждении новости кто-то предложил обсудить еще и парадокс двух конвертов. Спрашивали — получите.

Дано
В два запечатанных конверта ведущим вкладываются некоторые суммы денег и игроку известно, что суммы денег в двух конвертах различаются в два раза. Игрок может выбрать любой конверт наугад, вскрыть его и пересчитать сумму в конверте. После этого он может либо забрать эту себе, либо взять себе сумму из второго конверта, заранее не зная ее. Какова наилучшая стратегия для игрока?

Ответ
Игроку надо всегда брать второй конверт.

Доказательство
Допустим, в первом конверте игрок обнаруживает сумму 100р. Тогда, матожидание суммы во втором конверте (средняя сумма при выборе второго конверта) будет 100р/2*50%+100р*2*50%=(50р+200р)/2=125р. Надо всегда брать второй конверт, поскольку такая тактика в среднем (но не в каждом конкретном случае) дает больший выигрыш. Но это решение противоречит интуиции, так как кажется очевидным, что все равно какой конверт брать.

Я предлагаю попытаться самостоятельно разобраться в парадоксе, а если вы решение не нашли или нашли и хотите его проверить, то прошу под кат.

Может показаться, что парадокс Монти Холла и парадокс двух конвертов похожи: и там, и там доказанным решением будет "всегда менять первоначальный выбор". На самом деле это два противоположных парадокса. В парадоксе Монти Холла совершенно элементарная задача запутана так, чтобы правильное решение казалось абсурдным. В парадоксе двух конвертов ложное решение всегда будет казаться абсурдным, а задача запутана так, чтобы было трудно найти ошибку в "доказательстве".

В приведенной формулировке можно заметить некоторую туманность высказываний о максимально возможной сумме в конверте: "некоторая сумма", "100р". При этом предполагается, что суммы в конвертах не ограничены, но выбранные формулировки заставляют об не задумываться.

ПЕРЕФОРМУЛИРУЕМ ЗАДАЧУ БОЛЕЕ СТРОГИМ ОБРАЗОМ:

Дано
В два запечатанных конверта ведущим вкладываются любые и ничем не ограниченные суммы денег и игроку известно, что суммы денег в двух конвертах различаются в два раза. Игрок может выбрать любой конверт наугад, вскрыть его и пересчитать сумму в конверте. После этого он может либо забрать эту себе, либо взять себе сумму из второго конверта, заранее не зная ее. Какова наилучшая стратегия для игрока?

Ответ
Игроку надо всегда брать второй конверт.

Доказательство
Допустим, в первом конверте игрок обнаруживает сумму Х. Тогда, матожидание суммы во втором конверте будет Х/2*50%+Х*2*50%=1,25*Х. Надо всегда брать второй конверт, поскольку такая тактика в среднем дает больший выигрыш.

Вот сейчас абсурдность решения стала еще более очевидна: поскольку нам не важно значение Х, то мы можем и не вскрывать конверт, а просто сразу выбрать второй в котором в среднем лежит 1,25*Х. Обозначим 1,25*Х за Y и по аналогии находим, что в первом конверте лежит сумма 1,25*Y. Надо брать первый конверт. Так просто тыкая пальцем в конверты по очереди мы все время увеличиваем наш капитал, пока нам это не надоест!

В чем подвох? В том, что задача сформулирована не полно, она просто не имеет решения в такой формулировке, как не имеет решения система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Для полноты надо в условия задачи еще добавить функцию распределения вероятностей по возможным суммам в рублях. Теперь смотрим на "доказательство": для сумм Х/2 и Х*2 (где Х — любое положительное число) используется вероятность 50%. Так вот она функция распределения — равновероятна, константа! Но почему ее неявно запихнули в доказательство, а не указали в явном виде в условиях задачи? А чтобы мы об этой функции не задумывались.

Дело в том, что равновероятная функция распределения на бесконечном интервале математически невозможна. На функцию распределения всегда накладывается условие нормировки: интеграл от функции распределения на всей области определения функции в континуальном случае либо сумма всех значений функции в дискретном случае должны быть равны 1. Но интеграл от ненулевой константы по бесконечному интервалу или бесконечная сумма ненулевых констант всегда бесконечны, а если константа равна 0, то интеграл или сумма будет равна 0, но никак не 1!

Если же ввести, например, отграничение на максимально возможную сумму (известную игроку) в конверте, то, во-первых, игроку есть смысл вскрывать первый конверт и пересчитывать сумму в нем (так как теперь ему есть с чем э
ту сумму сравнивать), а, во-вторых, решение задачи будет другим. Вовсе не "всегда брать второй конверт".

Все это более подробно и очень хорошо описано в источнике (на википедии ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_двух_конвертов), так же там рассмотрены возможные корректные формулировки этой задачи.